线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

解题步骤 1.2

大小为 $4$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $4 \times 4$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{4}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.9.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.10

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.10.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.10.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.12

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.12.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.12.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.13

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.13.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.13.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.14

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.14.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.14.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.15

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.15.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.15.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0 - λ & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

从 $0$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.8

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.9

将 $- 14$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.11

将 $- 12$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.12

将 $24$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 & 24 & 6 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.13

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - λ & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - λ & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $4$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.1.3

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} | + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ - 12 & 24 & 6 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5

计算 $| \begin{array}{c} - λ & 4 & 10 \\ - 1 & 4 - λ & 5 \\ 7 & - 14 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |$

解题步骤 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ | \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2

计算 $| \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ - 14 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ ((4 - λ) (2 - λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 - λ) (2 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (4 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 4 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.2.2

从 $- 4 λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 6 λ + λ^{2} - (- 14 \cdot 5)) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.3

乘以 $- (- 14 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.2.1.3.1

将 $- 14$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 6 λ + λ^{2} - - 70) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 70$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (8 - 6 λ + λ^{2} + 70) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.2

将 $8$ 和 $70$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (- 6 λ + λ^{2} + 78) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.2.2.3

将 $- 6 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 7 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- (2 - λ) - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 1 \cdot 2 - - λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 - - λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.3

乘以 $- - λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 + 1 λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.3.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 + λ - 7 \cdot 5) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.1.4

将 $- 7$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (- 2 + λ - 35) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.3.2.2

从 $- 2$ 中减去 $35$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 | \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |)$

解题步骤 1.5.5.4

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 4 - λ \\ 7 & - 14 \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (- - 14 - 7 (4 - λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 14$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 7 (4 - λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 7 \cdot 4 - 7 (- λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.3

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 28 - 7 (- λ)))$

解题步骤 1.5.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (14 - 28 + 7 λ))$

解题步骤 1.5.5.4.2.2

从 $14$ 中减去 $28$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (- 14 + 7 λ))$

解题步骤 1.5.5.4.2.3

将 $- 14$ 和 $7 λ$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ (λ^{2} - 6 λ + 78) - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.5.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.2

化简。

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解题步骤 1.5.5.5.1.2.1

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.5.5.1.2.1.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.2.1.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.5.1.2.1.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.2.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 78 - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.2.3

将 $78$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.5.1.3.1

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.5.1.3.1.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.3.1.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 (λ - 37) + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.4

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ - 4 \cdot - 37 + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 37$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 10 (7 λ - 14))$

解题步骤 1.5.5.5.1.6

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 10 (7 λ) + 10 \cdot - 14)$

解题步骤 1.5.5.5.1.7

将 $7$ 乘以 $10$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 70 λ + 10 \cdot - 14)$

解题步骤 1.5.5.5.1.8

将 $10$ 乘以 $- 14$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 78 λ - 4 λ + 148 + 70 λ - 140)$

解题步骤 1.5.5.5.2

从 $- 78 λ$ 中减去 $4 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 82 λ + 148 + 70 λ - 140)$

解题步骤 1.5.5.5.3

将 $- 82 λ$ 和 $70 λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 148 - 140)$

解题步骤 1.5.5.5.4

从 $148$ 中减去 $140$ 。

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

解题步骤 1.5.6

化简行列式。

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解题步骤 1.5.6.1

合并 $0 + 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.6.1.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

解题步骤 1.5.6.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 + (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

解题步骤 1.5.6.1.3

将 $0$ 和 $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ 相加。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$

解题步骤 1.5.6.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 - λ) (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 12 λ + 8)$ 。

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 12 λ) + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (6 λ^{2}) + 2 (- 12 λ) + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} + 2 (- 12 λ) + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.3

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 2 \cdot 8 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.4

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.6.1

移动 $λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.6.2

将 $λ^{3}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.6.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.6.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + 1 λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.8

将 $λ^{4}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.9

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.10

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.10.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.10.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.10.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.11

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.12

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.13

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.6.3.13.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.13.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 8$

解题步骤 1.5.6.3.15

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 6 λ^{3} + 12 λ^{2} - 8 λ$

解题步骤 1.5.6.4

从 $- 2 λ^{3}$ 中减去 $6 λ^{3}$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 12 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} + 12 λ^{2} - 8 λ$

解题步骤 1.5.6.5

将 $12 λ^{2}$ 和 $12 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 24 λ + 16 + λ^{4} - 8 λ$

解题步骤 1.5.6.6

从 $- 24 λ$ 中减去 $8 λ$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16 + λ^{4}$

解题步骤 1.5.6.7

移动 $16$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + λ^{4} + 16$

解题步骤 1.5.6.8

移动 $- 32 λ$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} + λ^{4} - 32 λ + 16$

解题步骤 1.5.6.9

移动 $24 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 8 λ^{3} + λ^{4} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16$

解题步骤 1.5.6.10

将 $- 8 λ^{3}$ 和 $λ^{4}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{4} - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{4} - 8 λ^{3} + 24 λ^{2} - 32 λ + 16 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$λ^{4} - 4 \cdot (2 λ^{3}) + 6 \cdot (2^{2} λ^{2}) - 4 \cdot (2^{3} λ) + 2^{4} = 0$

解题步骤 1.7.1.2

使用二项式定理来对 $λ^{4} - 4 \cdot 2 λ^{3} + 6 \cdot 2^{2} λ^{2} - 4 \cdot 2^{3} λ + 2^{4}$ 进行因式分解。

${(2 - λ)}^{4} = 0$

解题步骤 1.7.2

将 $2 - λ$ 设为等于 $0$ 。

$2 - λ = 0$

解题步骤 1.7.3

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- λ = - 2$

解题步骤 1.7.3.2

将 $- λ = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.7.3.2.1

将 $- λ = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.7.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.7.3.2.2.2

用 $λ$ 除以 $1$ 。

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.7.3.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$λ = 2$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.7

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.8

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.9

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.10

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.11

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.12

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.13

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.14

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.15

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.16

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 0 - 2 & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.3.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 + 0 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 + 0 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.5

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 4 - 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.6

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.7

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.8

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.9

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.10

将 $- 14$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.11

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 + 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.12

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 + 0 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13

将 $- 12$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 + 0 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.14

将 $24$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.15

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 2 - 2 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.16

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 4 & 10 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 & - \frac{1}{2} \cdot 10 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 2 & 5 - 5 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - 14 & 0 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 14 - 7 \cdot - 2 & 0 - 7 \cdot - 5 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ - 12 & 24 & 6 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 12 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 12 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ - 12 + 12 \cdot 1 & 24 + 12 \cdot - 2 & 6 + 12 \cdot - 5 & 0 + 12 \cdot 0 & 0 + 12 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 35 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.6

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{35}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.6.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{35}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{0}{35} & \frac{0}{35} & \frac{35}{35} & \frac{0}{35} & \frac{0}{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 54 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 54 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 54 R_{2}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 54 \cdot 0 & 0 + 54 \cdot 0 & - 54 + 54 \cdot 1 & 0 + 54 \cdot 0 & 0 + 54 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.7.2

化简 $R_{4}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & - 2 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 2 x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x_{2} \\ x_{2} \\ 0 \\ x_{4} \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

线性代数 示例

线性代数示例